In geometrie, de tesseract het vierdimensionale analoog van de kubus; de tesseract is om de kubus als de kubus is om het plein. Evenals het oppervlak van de kubus bestaat uit zes vierkante vlakken, het hypervlak van de tesseract bestaat uit acht kubusvormige cellen. De tesseract is één van de zes convexe reguliere 4-polytopen.

De tesseract wordt ook wel een 8-cel, C _8, (reguliere) octachoron, octahedroid, kubieke prisma en tetracube (hoewel dit laatste term kan ook betekenen een polycube gemaakt van vier blokjes). Het is de vierdimensionale hypercube of 4-kubus als onderdeel van de dimensionele familie van hypercubes of “maatregel polytopen”.

Volgens de Oxford Engels Woordenboek, werd het woord tesseract bedacht en voor het eerst gebruikt in 1888 door Charles Howard Hinton in zijn boek Een nieuw tijdperk van denken, van de Griekse τέσσερεις ακτίνες (téssereis aktines of “vier stralen”), verwijzend naar de vier lijnen van elk hoekpunt naar andere hoekpunten. In deze publicatie, evenals enkele van de latere werk Hinton’s, het woord is soms gespeld “tessaract”.

Inhoud

• 1 Geometry
  • 1.1 Projecties tot 2 afmetingen
  • 1,2 Parallel projecties 3 dimensies
• 2 Fotogalerij
  • 2.1 Alternatieve projecties
  • 2.2 2D orthografische projecties
• 3 Tessellation
• 4 Verwante polytopen en honingraten
• 5 In de populaire cultuur
• 6 Toelichting
• 7 Verwijzingen
• 8 Externe links

Geometrie

De tesseract kan worden geconstrueerd op een aantal manieren. Als regelmatige polytoop drie blokjes samengevouwen rond elke rand, heeft Schläfli symbool {4,3,3} met hyperoctahedral symmetrie van de orde 384 uitgevoerd als 4D Hyperprism uit twee parallelle kubussen, kan worden genoemd als een samengesteld Schläfli symbool {4,3} x {}, met symmetrie orde 96. Als duoprism een Cartesiaans product van twee velden kan worden genoemd een samengesteld Schläfli symbool {4} x {4}, met symmetrie orde 64. Als orthotope kan worden weergegeven door samengestelde Schläfli symbool {} {x} {x} {x} en ^{4}, met symmetrie orde 16.

Aangezien elk hoekpunt van een tesseract grenst aan vier randen, de vertex figuur van de tesseract is een regelmatige tetraëder. De dubbele polytoop van de tesseract heet de hexadecachoron, of 16-cel, met Schläfli symbool {3,3,4}.

De standaard tesseract in euclidische 4-ruimte wordt gegeven als de bolle romp van de punten (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Dat is, het bestaat uit de punten:

Een tesseract is begrensd door acht hypervlakken (x _i = ± 1). Elk paar niet parallel hypervlakken snijdt tot 24 vierkante vlakken in een tesseract vormen. Drie blokjes en drie vierkanten snijden bij elke rand. Er zijn vier kubussen, zes pleinen en vier randen ontmoeten op elk hoekpunt. Al met al, het bestaat uit 8 blokjes, 24 pleinen, 32 randen en 16 hoekpunten.

Projecties naar 2 dimensies

De aanleg van een hyperkubus kan worden gedacht aan de volgende manier:

• 1-dimensionale: twee punten A en B kunnen worden verbonden met een lijn, die een nieuwe lijnstuk AB.
• 2-dimensionale: twee evenwijdige lijnsegmenten AB en CD kan worden aangesloten op een vierkant worden, de hoeken gemarkeerd als ABCD.
• 3-dimensionale: twee evenwijdige vierkanten ABCD EFGH en kan worden aangesloten op een kubus worden, de hoeken gemarkeerd als ABCDEFGH.
• 4-dimensionale: twee parallel blokjes ABCDEFGH en IJKLMNOP kan worden aangesloten op een hypercube worden, de hoeken gemarkeerd als ABCDEFGHIJKLMNOP.

Een 3D projectie van een 8-cell uitvoeren van een simpele rotatie over een vlak dat de figuur uit doorsnijdt-linksvoor back-rechts en van boven naar beneden

Een diagram toont hoe een tesseract creëren van een punt

Een animatie van de verschuiving in afmetingen zoals hierboven aangegeven

Het is mogelijk tesseracts projecteren drie- of tweedimensionale ruimten, als het projecteren van een kubus kan een tweedimensionaal.

Projecties op de 2D-vlak worden meer leerzaam door het herschikken van de posities van de geprojecteerde hoekpunten. Op deze wijze kan men beelden die niet meer aan de ruimtelijke relaties binnen de tesseract, maar de verbindingsstructuur van de hoekpunten, zoals in de volgende voorbeelden verkregen:

Een tesseract is in principe verkregen door het combineren van twee kubussen. De regeling is vergelijkbaar met de bouw van een kubus uit twee velden: naast elkaar twee exemplaren van de lagere driedimensionale kubus en verbinden de corresponderende hoekpunten. Elke rand van een tesseract is van dezelfde lengte. Deze weergave is van belang bij gebruik tesseracts als basis voor een netwerktopologie meerdere processors koppelen parallel computing: de afstand tussen twee knopen ten hoogste 4 en er zijn vele wegen om gewichtscompensatie.

Parallel projecties tot 3 dimensies

De ruitvormige dodecaëder vormt de bolle romp van vertex-eerste parallelle projectie van de tesseract’s. Het aantal hoekpunten in de lagen van deze prognose 1 4 6 4 1-vierde rij Pascal driehoek.

Parallelle projectie enveloppen van de tesseract (elke cel wordt getekend met verschillende kleur gezichten, omgekeerde cellen zijn niet opgenomen)

De cel-eerste parallelle projectie van de tesseract in de 3-dimensionale ruimte heeft een kubusvormige envelop. De dichtstbijzijnde en verste cellen worden geprojecteerd op de kubus, en de overblijvende 6 cellen worden geprojecteerd op de 6 vierkante vlakken van de kubus.

De face-eerste parallelle projectie van de tesseract in de 3-dimensionale ruimte heeft een kubusvormige envelop. Twee paren cellen uitsteken in het bovenste en onderste helften van de envelop, en de 4 overige cellen uitsteken in de zijvlakken.

De rand-eerste parallelle projectie van de tesseract in 3-dimensionale ruimte heeft een enveloppe in de vorm van een hexagonaal prisma. Zes cellen projecteren op ruitvormige prisma’s, die in het zeshoekige prisma worden gelegd op een manier analoog aan de manier waarop de gezichten van de 3D-kubus project op 6 ruiten in een zeshoekige envelop onder vertex-eerste projectie. De twee overige cellen te projecteren op het prisma bases.

De vertex-eerste parallelle projectie van de tesseract in de 3-dimensionale ruimte heeft een ruitvormig dodecaëdervorm envelop. Er zijn precies twee manieren ontleden van een ruitvormige dodecaëder in 4 congruent parallellepipeda, dus in totaal 8 mogelijke parallellepipeda. De beelden van de cellen van de tesseract onder deze projectie zijn juist deze 8 parallellepipeda. Dit uitsteeksel is ook degene met maximale volume.

Fotogalerij

De tesseract kan worden uitgevouwen in acht blokjes in 3D-ruimte, net zoal
s de kubus kan worden uitgevouwen in zes pleinen in 2D ruimte. Een ontvouwen van een polytoop wordt een net. Er zijn 261 verschillende netten van de tesseract. De ontvouwing van de tesseract kunnen worden geteld door het in kaart brengen van de netten aan gepaarde bomen (een boom, samen met een perfecte afstemming in zijn complement).

Stereoscopische 3D projectie van een tesseract (parallel view)

Alternatieve projecties

Een 3D projectie van een tesseract uitvoeren van een dubbele rotatie over twee orthogonale vlakken

Perspectief met verborgen volume eliminatie. De rode hoek is het dichtstbijzijnde in 4D en heeft 4 kubusvormige cellen ontmoeten omheen.

De tetraëder vormt de bolle romp van vertex-gecentreerde centrale projectie van de tesseract’s. Vier van 8 kubische cellen worden getoond. De 16 vertex wordt geprojecteerd op oneindig en de vier randen om het te worden niet getoond.

Stereografische projectie

(Randen worden geprojecteerd op de 3-sfeer)

2D orthografische projecties

orthografische projecties

Coxeter vliegtuig
_B 4
B _3/4 D / A ₂
B ₂ / D ₃

Diagram

Dihedrale symmetrie

Coxeter vliegtuig
Ander
F ₄
Een ₃

Diagram

Dihedrale symmetrie

[3/12]

Tessellation

De tesseract, samen met alle hyperkubussen, tessellates Euclidische ruimte. De zelf-duale tesseractic honingraat bestaande uit 4 tesseracts rond elk gezicht heeft Schläfli symbool {4,3,3,4}. Vandaar dat de tesseract een tweevlakshoek van 90 °.

Gerelateerde polytopen en honingraten

Als uniform duoprism de tesseract bestaat in een reeks uniforme duoprisms: {p} × {4}.

De reguliere tesseract, samen met de 16-cel, bestaat in een reeks van 15 uniforme 4-polytopes met dezelfde symmetrie. De tesseract {4,3,3} bestaat in een reeks van reguliere 4-polytopen en honingraten, {p, 3,3} met tetrahedrale vertex cijfers, {3,3}. De tesseract is ook in een reeks van reguliere 4-polytope en honingraten, {4,3, p} met kubieke cellen.

In de populaire cultuur

Sinds hun ontdekking, hebben vier-dimensionale hyperkubussen een populair thema in de kunst, architectuur en fictie geweest. Bekende voorbeelden zijn:

• Kruisiging (Corpus Hypercubus) – Olie schilderij van Salvador Dalí met een vier-dimensionale Hypercube ontvouwde in een drie-dimensionale Latijns kruis
• De Grande Arche – Een monument en gebouw in de buurt van Parijs, Frankrijk gezegd dat de projectie van een hyperkubus lijken
• “En Hij bouwde een Crooked House” – een science fiction verhaal met een gebouw in de vorm van een vier-dimensionale Hypercube geschreven door Robert Heinlein (1940)