Wikiternative
The Alternative Source

Post info:

Emmy Noether

Emmy Noether, officiële naam Amalie Emmy Noether; 23 maart 1882 – 14 april 1935) was een invloedrijke Duitse wiskundige bekend om haar bijdragen aan abstracte algebra en theoretische natuurkunde. Ze werd beschreven door Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl, en Norbert Wiener als de belangrijkste vrouw in de geschiedenis van de wiskunde. Als een van de leidende wiskundigen van haar tijd, ontwikkelde ze de theorieën van ringen, velden, en algebra. In de natuurkunde, Noether legt het verband tussen symmetrie en behoudswetten.

Noether werd geboren in een joodse familie in de Frankische stad Erlangen; haar vader was wiskundige Max Noether. Ze oorspronkelijk van plan om te leren Frans en Engels na het passeren van de vereiste examens, maar in plaats daarvan studeerde wiskunde aan de Universiteit van Erlangen , waar haar vader doceerde. Na het afronden van haar proefschrift in 1907 onder leiding van Paul Gordan, werkte ze bij het Mathematisch Instituut van Erlangen zonder loon voor zeven jaar. (Op het moment, de vrouwen werden grotendeels uitgesloten van wetenschappelijke functies.) In 1915 werd ze uitgenodigd door David Hilbert en Felix Klein aan de afdeling wiskunde aan de join Universiteit van Göttingen, een wereldberoemd centrum van wiskundig onderzoek. De filosofische faculteit acht het echter niet, en ze bracht vier jaar lezingen onder de naam van Hilbert. Haar habilitatie werd goedgekeurd in 1919, waarmee ze tot de rang van het verkrijgen Privaatdocent.

Noether bleef een vooraanstaand lid van de Göttingen afdeling wiskunde tot 1933; haar leerlingen werden ook wel de “Noether jongens”. In 1924, Nederlandse wiskundige BL van der Waerden voegde zich bij haar cirkel en werd al snel de leidende uitlegger van Noether ideeën: haar werk was de basis voor het tweede deel van zijn invloedrijke 1931 leerboek, Moderne Algebra. Tegen de tijd van haar plenaire adres op de 1932 Internationale Congres voor Wiskundigen in Zürich, werd haar algebraïsche scherpzinnigheid erkend over de hele wereld. Het volgende jaar, het Duitse nazi-regering ontslagen Joden uit universitaire posities, en Noether verhuisde naar de Verenigde Staten tot het nemen van een positie bij Bryn Mawr College in Pennsylvania. In 1935 onderging ze een operatie voor een ovarian cyste en, ondanks tekenen van herstel, stierf vier dagen later op 53-jarige leeftijd.

Wiskundige werk Noether’s is verdeeld in drie “tijdperken”. In de eerste (1908-1919), maakte ze een belangrijke bijdrage aan de theorieën van algebraïsche invarianten en het aantal velden. Haar werk op differentiële invarianten in de calculus van variaties , Noether, is genoemd “een van de belangrijkste wiskundige stellingen ooit bewezen in het begeleiden van de ontwikkeling van de moderne fysica”. In de tweede periode (1920-1926), zij begon met het werk dat “het gezicht van [abstract] algebra”. In haar klassieke papieren Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Idealen in Ring Domeinen, 1921) Noether ontwikkelde de theorie van idealen in commutatieve ringen in een krachtige tool met breed- uiteenlopende toepassingen. Ze maakte elegant gebruik van de Ketenvoorwaarde , en voorwerpen die voldoen aan het worden genoemd Noetherse in haar eer. In de derde periode (1927-1935) publiceerde ze grote werken op niet-commutatieve algebra en hypercomplexe nummers en verenigde de representatie theorie van groepen met de theorie van de modules en idealen. Naast haar eigen publicaties, Noether was gul met haar ideeën en wordt gecrediteerd met een aantal lijnen van het onderzoek gepubliceerd door andere wiskundigen, zelfs in gebieden ver verwijderd van haar belangrijkste werk, zoals de algebraïsche topologie.

Inhoud

  • 1 Privé-leven
  • 2 Teaching
    • 2.1 Universiteit van Erlangen
    • 2.2 Universiteit van Göttingen
    • 2.3 baanbrekende werk in abstracte algebra
    • 2.4 Lezingen en studenten
    • 2.5 Moskou
    • 2.6 Erkenning
    • 2.7 Uitzetting uit Göttingen
    • 2.8 Bryn Mawr
  • 3 Death
  • 4 Bijdragen aan de wiskunde en natuurkunde
    • 4.1 Historische context
      • 4.1.1 Samenvatting algebra en begriffliche Mathe (conceptuele wiskunde)
        • 4.1.1.1 Gehele getallen als voorbeeld van een ring
    • 4.2 Eerste tijdperk (1908-1919)
      • 4.2.1 Algebraïsche invariantentheorie
      • 4.2.2 Galoistheorie
      • 4.2.3 Natuurkunde
    • 4.3 Tweede tijdperk (1920-1926)
      • 4.3.1 Klimmen en dalen keten voorwaarden
      • 4.3.2 Commutatieve ringen, idealen, en modules
      • 4.3.3 Eliminatie theorie
      • 4.3.4 Invariante theorie van eindige groepen
      • 4.3.5 Bijdragen aan topologie
    • 4.4 De derde tijdperk (1927-1935)
      • 4.4.1 hypercomplexe nummers en representatietheorie
      • 4.4.2 Niet-commutatieve algebra
  • 5 Assessment, erkenning, en gedenktekens
  • 6 Lijst van promovendi
  • 7 Eponymous wiskundige onderwerpen
  • 8 Toelichting
  • 9 Referenties
    • 9.1 Geselecteerde werken van Emmy Noether (in het Duits)
    • 9.2 Aanvullende bronnen
  • 10 Externe links

Privé-leven

Noether groeide op in de Beierse stad Erlangen , hier afgebeeld in een 1916 postkaart

Emmy’s vader, Max Noether, stamde uit een familie van groothandels in Duitsland. Op 14, was hij verlamd door polio. Hij herwonnen mobiliteit, maar één been bleef getroffen. Grotendeels autodidact, kreeg hij een doctoraat van de Universiteit van Heidelberg in 1868. Na het onderwijzen er voor zeven jaar, nam hij een positie in de Beierse stad Erlangen , waar hij ontmoette en trouwde Ida Amalia Kaufmann, de dochter van een welvarende handelaar. Max Noether’s wiskundige bijdragen waren aan algebraïsche meetkunde vooral, in de voetsporen van Alfred Clebsch . Zijn meest bekende resultaten zijn de Brill-Noether stelling en het residu, of AF + BG stelling; een aantal andere stellingen zijn met hem verbonden, waaronder Max Noether’s .

Emmy Noether werd geboren op 23 maart 1882, de eerste van vier kinderen. Haar eerste naam was “Amalie”, nadat haar moeder en grootmoeder van vaderskant, maar ze begon met haar tweede naam op jonge leeftijd. Als een meisje, werd Noether goed vond. Ze wilde niet opvallen academisch hoewel ze werd bekend als slim en vriendelijk. Ze was bijziend en sprak met een minderjarige lisp tijdens de kindertijd. Een vriend van de familie vertelde een verhaal jaren later over jonge Noether snel oplossen van een breinbreker op een kinderfeestje, waaruit logisch inzicht op die jonge leeftijd. Ze werd geleerd om te koken en schoon, net als de meeste meisjes van de tijd, en ze nam pianolessen. Ze nagestreefd geen van deze activiteiten met passie, hoewel ze hield van dansen.

Ze had drie jongere broers. De oudste, Alfred, geboren in 1883, werd bekroond met een doctoraat in de chemie . van Erlangen in 1909, maar overleed negen jaar later Fritz Noether, geboren in 1884, wordt herinnerd voor zijn academische prestaties: na een studie in München maakte hij een reputatie voor zichzelf in de toegepaste wiskunde . De jongste, Gustav Robert, werd geboren in 1889. Zeer weinig bekend over zijn leven; hij leed aan een chronische ziekte en overleed in 1928.

Onderwijzen

Universiteit van Erlangen

Paul Gordan begeleid proefschrift Noether op invarianten van bikwadraats vormen.

Noether toonde vroeg vaardigheid in het Frans en het Engels. In het voorjaar van 1900 nam ze het examen voor leraren van deze talen en kreeg een totaalscore van sehr gut (zeer goed). Haar prestatie kwalificeerde haar om talen op scholen gereserveerd voor meisjes te leren, maar ze koos in plaats daarvan om haar studie voort aan de Universiteit van Erlangen.

Dit was een onconventionele beslissing; twee jaar eerder, de Academische Senaat van de universiteit had verklaard dat het toestaan Gemengd onderwijs zou “omverwerpen alle academische orde”. Een van de slechts twee vrouwelijke studenten in een universiteit van 986, werd Noether alleen toegestaan om te controleren klassen in plaats van volledig deel te nemen, en de vereiste toestemming van de individuele professoren wiens lezingen ze wenste bij te wonen. Ondanks de obstakels, op 14 juli 1903 ze geslaagd voor het afstuderen examen bij een Realgymnasium in Neurenberg.

Tijdens de 1903-1904 winter semester, studeerde ze aan de Universiteit van Göttingen, het bijwonen van lezingen gegeven door astronoom Karl Schwarzschild en wiskundigen Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein en David Hilbert. Kort daarna, beperkingen op de deelname van vrouwen aan die universiteit werden ingetrokken.

Noether terug naar Erlangen. Ze officieel reentered de universiteit op 24 oktober 1904 en verklaarde haar voornemen om zich uitsluitend te richten op de wiskunde. Onder begeleiding van Paul Gordan schreef ze haar proefschrift, über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Vorm (Op Complete Systemen van Invarianten voor Ternary bikwadraats Formulieren, 1907). Hoewel het was goed ontvangen, Noether beschreef later haar proefschrift als “onzin”.

Voor de komende zeven jaar (1908-1915) leerde ze aan de universiteit van Erlangen Mathematisch Instituut zonder loon, zo nu en vervanging van haar vader toen hij te ziek om les te lezen was. In 1910 en 1911 publiceerde ze een uitbreiding van haar proefschrift werk van drie variabelen naar n variabelen.

Noether soms gebruikt ansichtkaarten om abstracte algebra bespreken met haar collega, Ernst Fischer. Deze kaart is een poststempel 10 april 1915.

Gordan pensioen in het voorjaar van 1910, maar bleef af en toe te leren met zijn opvolger, Erhard Schmidt, die kort daarna voor een positie in de linker Breslau. Gordan afscheid heeft genomen van het onderwijs geheel in 1911 met de komst van Schmidt’s opvolger Ernst Fischer, en stierf in december 1912.

Volgens Hermann Weyl, Fischer was een belangrijke invloed op Noether, in het bijzonder door de invoering van haar naar het werk van David Hilbert . Van 1913-1916 Noether verscheidene artikelen gepubliceerd te breiden en het toepassen van Hilbert methoden om wiskundige objecten, zoals velden van rationale functies en de invarianten van eindige groepen . Deze fase markeert het begin van haar verloving met abstracte algebra , het gebied van de wiskunde waarop ze zou baanbrekende bijdragen.

Noether en Fischer gedeeld levendige genot van wiskunde en zou vaak te bespreken lezingen lang nadat ze voorbij waren; Noether is bekend ansichtkaarten te hebben gestuurd naar Fischer voortgezette haar trein van wiskundige gedachten.

Universiteit van Göttingen

In het voorjaar van 1915, werd Noether uitgenodigd om terug te keren naar de universiteit van Göttingen door David Hilbert en Felix Klein. Hun poging om haar aan te werven, werd echter geblokkeerd door de filologen en historici onder de filosofische faculteit: vrouwen, ze stond erop, mag niet worden Privaatdocent. Eén lid van de faculteit protesteerde: “Wat zal onze soldaten denken wanneer ze terugkeren naar de universiteit en vinden dat ze nodig zijn om te leren aan de voeten van een vrouw?” Hilbert reageerden met verontwaardiging, onder vermelding van: “Ik zie niet in, dat het geslacht van de kandidaat is een argument tegen haar toelating als Privaatdocent. Immers, we zijn een universiteit, niet een badhuis.”

In 1915 David Hilbert uitgenodigd Noether aan de Göttingen wiskunde-afdeling te sluiten, tegen de standpunten van sommige van zijn collega’s dat een vrouw niet mag worden toegestaan om les te geven aan een universiteit.

Noether vertrokken naar Göttingen in eind april; twee weken later overleed haar moeder plotseling in Erlangen. Zij had eerder ontvangen medische zorg voor een oogaandoening, maar de aard en de impact op haar dood is onbekend. Op ongeveer hetzelfde moment met pensioen Noether’s vader en haar broer toegetreden tot het Duitse leger te dienen in de Eerste Wereldoorlog . Ze keerde terug naar Erlangen voor enkele weken, meestal om de zorg voor haar bejaarde vader.

Tijdens haar eerste jaar les in Göttingen ze geen officieel standpunt te hebben en werd niet betaald; haar familie betaald voor haar kost en inwoning en steunde haar academische werk. Haar lezingen vaak geadverteerd waren onder de naam van Hilbert en Noether zou “hulp” te leveren.

Kort na aankomst in Göttingen, maar toont zij haar vermogens die bewijzen de stelling nu bekend als Noether, waaruit blijkt dat een behoudswet wordt geassocieerd met een differentieerbare symmetrie van een fysisch systeem. Amerikaans natuurkundige Leon M. Lederman en Christopher T. Hill beweren in hun boek Symmetrie en het mooie Universum dat Noether is “zeker een van de belangrijkste wiskundige stellingen ooit bewezen in het begeleiden van de ontwikkeling van de moderne fysica, eventueel op een lijn met de stelling van Pythagoras”.

De afdeling wiskunde aan de Universiteit van Göttingen toegestaan Noether’s habilitatie in 1919, vier jaar nadat ze was begonnen lezingen op de school.

Toen de Eerste Wereldoorlog eindigde, de Duitse revolutie van 1918-1919 bracht een significante verandering in de sociale houding, met inbegrip van meer rechten voor vrouwen. In 1919 de Universiteit van Göttingen toegestaan Noether om verder te gaan met haar habilitatie (in aanmerking te komen voor tenure). Haar mondeling examen werd gehouden in eind mei, en ze succesvol afgeleverd haar habilitatie lezing in juni.

Drie jaar later kreeg ze een brief van de Pruisische minister van Wetenschap, Kunst en Openbaar Onderwijs, waarin hij op haar de titel van nicht beamteter ausserordentlicher Professor verleend (een untenured professor met beperkte interne administratieve rechten en functies). Dit was een onbetaalde “buitengewone” hoogleraarschap, niet de hogere “gewone” hoogleraarschap, die een ambtelijke functie was. Hoewel het erkende het belang van haar werk, de positie nog steeds op voorwaarde dat geen salaris. Noether werd niet betaald voor haar lezingen tot ze werd benoemd tot lid van de bijzondere positie van Lehrbeauftragte für Algebra een jaar later.

Baanbrekende werk in abstracte algebra

Hoewel Noether had een diepgaand effect op de natuurkunde, onder wiskundigen ze is best herinnerd voor haar baanbrekende bijdragen aan de abstracte algebra. Zoals Nathan Jacobson zegt in zijn inleiding tot Noether’s Collected Papers,

De ontwikkeling van de abstracte algebra, dat is een van de meest opvallende vernieuwingen van de twintigste eeuw de wiskunde, is grotendeels te danken aan haar in gepubliceerde artikelen, lezingen, en in persoonlijke invloed op haar tijdgenoten.

Baanbrekend werk Noether in algebra begon in 1920. In samenwerking met W. Schmeidler, daarna publiceerde ze een paper over de theorie van de idealen waarin gedefinieerd ze links en rechts idealen in een ring . Het volgende jaar publiceerde ze een mijlpaal papier genaamd Idealtheorie in Ringbereichen, analyseren oplopend keten voorwaarden met betrekking tot de (wiskundige) idealen. Opgemerkt algebraist Irving Kaplansky noemde dit werk “revolutionaire”; de publicatie gaf aanleiding tot de term ” Noetherse ring “en de naamgeving van een aantal andere wiskundige objecten als Noetherse.

In 1924 een jong Nederlands wiskundige, BL van der Waerden, aangekomen bij de Universiteit van Göttingen. Hij begon meteen te werken met Noether, die van onschatbare waarde methoden van abstracte conceptualisering verstrekt. Van der Waerden zei later dat haar originaliteit was “absoluut niet te vergelijken” In 1931 publiceerde hij Moderne Algebra, een centrale tekst in het veld; zijn tweede volume geleend zwaar uit Noether’s werk. Hoewel Noether was niet bedoeld erkenning, nam hij als een notitie in de zevende editie “mede op basis van lezingen door E. Artin en E. Noether”. Ze soms liet haar collega’s en studenten te ontvangen krediet voor haar ideeën, hen te helpen hun carrière ten koste van haar eigen ontwikkeling.

Van der Waerden Het bezoek was onderdeel van een convergentie van wiskundigen van over de hele wereld naar Göttingen, die een belangrijke hub van wiskundige en natuurkundige onderzoek geworden. Van 1926-1930 Russische topoloog Pavel Alexandrov doceerde aan de universiteit, en hij en Noether werd al snel goede vrienden. Hij begon te verwijzen naar haar als der Noether, met behulp van de mannelijke Duitse artikel als een uiting van genegenheid aan zijn respect te tonen. Ze probeerde te regelen voor hem om een positie in Göttingen als een gewone hoogleraar te verkrijgen, maar was alleen in staat om hem te helpen een beurs van de te beveiligen Rockefeller Foundation. Ze ontmoetten elkaar regelmatig en genoten van de discussies over de snijpunten van algebra en topologie. In zijn 1935 gedenkteken adres, Alexandrov genaamd Emmy Noether “de grootste vrouw wiskundige aller tijden”.

Lezingen en studenten

In Göttingen, Noether begeleid meer dan een dozijn promovendi; haar eerste was Grete Hermann, die haar proefschrift verdedigd in februari 1925. Ze sprak later eerbiedig van haar ‘proefschrift-moeder “. Noether ook begeleid Max Deuring, die zich onderscheiden als een undergraduate en ging over tot een belangrijke bijdrage leveren aan het veld van rekenkundige meetkunde, Hans Fitting, herinnerd voor theorema Fitting’s en de Fitting lemma ; en Zeng Jiongzhi (ook gerenderd “Chiungtze C. Tsen” in het Engels), die bewees Tsen theorema. Ze werkte ook nauw samen met Wolfgang Krull, die sterk geavanceerde commutatieve algebra met zijn Hauptidealsatz en zijn dimensietheorie voor commutatieve ringen.

Naast haar wiskundig inzicht werd Noether gerespecteerd voor haar behandeling van anderen. Hoewel ze soms gehandeld onbeleefd tegenover degenen die met haar oneens, ze toch een reputatie voor constante behulpzaamheid en geduldige begeleiding van nieuwe studenten. Haar loyaliteit aan mathematische precisie veroorzaakt een collega om haar “een strenge criticus” te noemen, maar ze combineerde deze vraag naar nauwkeurigheid met een verzorgende houding. E en collega later beschreef haar op deze manier: “Volledig unegotistical en vrij van ijdelheid, ze nooit beweerde iets voor zichzelf, maar bevorderde de werken van haar leerlingen boven alles.”

Haar sobere levensstijl op het eerste was te wijten aan wordt ontzegd beloning voor haar werk; Maar zelfs na de universiteit begon het betalen van haar een klein salaris in 1923, bleef ze een eenvoudige en bescheiden leven te leiden. Meer royaal later werd ze betaald in haar leven, maar redde de helft van haar salaris nalaten aan haar neef, Gottfried E. Noether.

Meestal niet betrokken over uiterlijk en omgangsvormen, biografen suggereren ze gefocust op haar studie. Een voorname algebraist Olga Taussky-Todd beschreven een lunch, waarbij Noether, geheel verdiept in een bespreking van de wiskunde, gebaarde wild, zoals ze aten en gemorst haar eten voortdurend en veegde hem weg uit haar jurk, volkomen onverstoord. Verschijning-bewuste studenten kromp ineen toen ze pakte de zakdoek uit haar blouse en negeerde de toenemende wanorde van het haar tijdens een lezing. Twee vrouwelijke studenten een keer haar benaderde tijdens een pauze in een twee uur durende les om hun bezorgdheid te uiten, maar ze niet te breken door de energieke wiskunde discussie ze had met andere studenten waren.

Volgens Van der Waerden’s doodsbrief van Emmy Noether, wist ze niet te volgen een lesvoorbereiding voor haar lezingen, waarvan sommige studenten gefrustreerd. In plaats daarvan gebruikte ze haar lezingen als een spontane discussie tijd met haar studenten, door te denken en belangrijke cutting-edge problemen in de wiskunde te verduidelijken. Een aantal van haar belangrijkste resultaten werden ontwikkeld in deze lezingen, en de dictaten van haar leerlingen vormden de basis voor een aantal belangrijke leerboeken, zoals die van van der Waerden en Deuring.

Een aantal van haar collega’s woonden haar lezingen, en liet ze een aantal van haar ideeën, zoals de gekruiste product (verschränktes Produkt in het Duits) van associatieve algebra, door anderen te worden gepubliceerd. Noether werd opgenomen hebben gegeven ten minste vijf semester lang cursussen in Göttingen:

  • Winter 1924-1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Groep Theorie en hypercomplexe Numbers)
  • Winter 1927-1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (hypercomplexe Grootheden en Representatietheorie)
  • Zomer 1928: Nichtkommutative Algebra (niet-commutatieve algebra)
  • Zomer 1929: Nichtkommutative Arithmetik (commutatieve Arithmetic)
  • Winter 1929-1930: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Algebra van hypercomplexe hoeveelheden).

Deze cursussen vaak voorafgegaan belangrijke publicaties op deze terreinen.

Noether sprak snel-als gevolg van de snelheid van haar gedachten, veel gezegd-en eiste een grote concentratie van haar leerlingen. Studenten die haar stijl hekel vaak het gevoel vervreemd. Sommige leerlingen vonden dat ze vertrouwden te veel op spontane discussies. Haar meest toegewijde studenten echter genoot van het enthousiasme waarmee ze benaderd wiskunde, vooral omdat haar lezingen vaak gebouwd op eerder werk dat ze samen hadden gedaan.

Ze ontwikkelde een nauwe kring van collega’s en studenten die langs dezelfde lijnen gedacht en de neiging om mensen die niet uit te sluiten. “Buitenstaanders” die af en toe bezocht lezingen Noether’s meestal doorgebracht slechts 30 minuten in de kamer voordat hij in frustratie of verwarring. Een regelmatige student zei van één zo’n geval: “De vijand is verslagen, hij heeft leeggehaald”

Noether toonde een toewijding aan haar onderwerp en haar studenten dat uitgebreid tot buiten de academische dag. Eens, toen het gebouw werd gesloten voor een staat vakantie, verzamelden ze de klas op de stappen buiten, leidde hen door het bos, en doceerde aan een lokaal koffiehuis. Later, nadat ze had door de ontslagen Derde Rijk, ze nodigde studenten in haar huis om hun plannen voor de toekomst en wiskundige concepten te bespreken.

Moskou

Noether doceerde aan de Staatsuniversiteit van Moskou in de winter van 1928-1929.

In de winter van 1928-1929 geaccepteerd Noether een uitnodiging aan de Moscow State University, waar ze bleef werken met PS Alexandrov. Naast het uitvoeren van haar onderzoek, leerde ze lessen in abstracte algebra en algebraïsche meetkunde. Ze werkte samen met de topologists, Lev Pontryagin en Nikolai Chebotaryov, die later prees haar bijdragen aan de ontwikkeling van Galois theorie.

Hoewel de politiek was niet centraal in haar leven, Noether nam een levendige belangstelling voor politieke zaken en volgens Alexandrov, lieten een aanzienlijke steun voor de Russische Revolutie. Ze was vooral blij om te zien Sovjet ontwikkelingen op het gebied van wetenschap en wiskunde, die ze als indicatief voor nieuwe kansen mogelijk gemaakt door de bolsjewistische project. Deze houding veroorzaakt haar problemen in Duitsland, culminerend in haar uitzetting uit een pensioen accommodatie gebouw, na studentenleiders klaagde over het leven met “een marxistisch-leunend jodin”.

Pavel Alexandrov

Noether van plan om terug te keren naar Moskou, een inspanning waarvoor ze steun van Alexandrov. Nadat ze verliet Duitsland in 1933 probeerde hij haar te helpen een leerstoel aan de Moscow State University te krijgen door middel van de Sovjet-ministerie van Onderwijs. Hoewel deze inspanning bleek geen succes, vaak overeen dat ze in de loop van de jaren 1930, en in 1935 maakte ze plannen voor een terugkeer naar de Sovjet-Unie. Ondertussen haar broer Fritz accepteerde een functie bij het Centrum voor Wiskunde en Mechanica in Tomsk , in het Federaal District Siberië van Rusland, na het verliezen van zijn baan in Duitsland.

Erkenning

In 1932 Emmy Noether en Emil Artin ontving de Ackermann-Teubner Memorial Award voor hun bijdragen aan de wiskunde. De prijs droeg een geldelijke beloning van 500 Reichsmark en werd gezien als een langverwachte officiële erkenning van haar grote werk in het veld. Niettemin, haar collega’s hun frustratie over het feit dat ze niet werd gekozen tot de Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (Academie van Wetenschappen) en werd nooit gepromoveerd tot de positie van Ordentlicher Professor (hoogleraar).

Noether bezocht Zürich in 1932 aan een plenaire adres te leveren aan het Internationaal Congres voor Wiskundigen.

Noether collega’s vierde haar vijftigste verjaardag in 1932, in de typische wiskundigen ‘stijl. Helmut Hasse een artikel gewijd aan haar in de Mathematische Annalen, waarin hij het vermoeden bevestigde haar dat sommige aspecten van de niet-commutatieve algebra zijn eenvoudiger dan die van commutatieve algebra , door te bewijzen dat een niet-commutatieve wederkerigheid wet. Dat beviel haar enorm. Hij stuurde haar ook een wiskundig raadsel, de “mμν-raadsel van de lettergrepen”, die ze onmiddellijk opgelost; het raadsel is verloren gegaan.

In november van hetzelfde jaar, Noether leverde een plenaire adres (Grosser Vortrag) op “Hyper-complexe systemen in hun betrekkingen met algebra en commutatieve aan getaltheorie” aan het Internationaal Congres voor Wiskundigen in Zürich . Het congres werd bijgewoond door 800 mensen, waaronder Noether’s collega Hermann Weyl, Edmund Landau en Wolfgang Krull . Er waren 420 officiële deelnemers en eenentwintig plenaire adressen gepresenteerd. Blijkbaar prominente spreken positie Noether was een erkenning van het belang van haar bijdragen aan de wiskunde. De 1932 congres wordt soms omschreven als het hoogtepunt van haar carrière.

Uitzetting uit Göttingen

Toen Adolf Hitler werd de Duitse rijkskanselier in januari 1933, de nazi -activiteit in het hele land enorm toegenomen. Aan de universiteit van Göttingen de Duitse Vereniging van de Student leidde de aanval op de ‘on-Duits geest “toegeschreven aan Joden en werd geholpen door een Privaatdocent genaamd Werner Weber, een oud-student van Noether. Antisemitische houdingen creëerde een klimaat vijandig tegenover de Joodse professoren. Een jonge demonstrant verluidt eiste: “Aryan studenten willen Aryan wiskunde en niet joods wiskunde”

Een van de eerste daden van Hitler’s regering was de wet voor de herstelling van het Professional Ambtenarenzaken die joden en politiek verdachte werknemers bij de overheid (inclusief universiteitsprofessoren) van hun banen, tenzij ze hadden “hun loyaliteit naar Duitsland aangetoond” door te dienen in de Tweede Wereldoorlog verwijderd I. In april 1933 ontving Noether een bericht van het Pruisische ministerie van Wetenschappen, Kunst en Openbaar Onderwijs waarin te lezen: “Op grond van paragraaf 3 van het Burgerlijk Service Code van 7 april 1933, ik hierbij terugtrekken uit je het recht om te leren aan de Universiteit van Göttingen.” Verschillende van Noether collega’s, met inbegrip van Max Born en Richard Courant, hadden ook hun posities ingetrokken. Noether aanvaard de beslissing rustig, het bieden van ondersteuning voor anderen in deze moeilijke tijd. Hermann Weyl later schreef dat “Emmy Noether-haar moed, haar openhartigheid, haar onverschilligheid over haar eigen lot, haar verzoenende geest werd in het midden van alle haat en gemeenheid, wanhoop en verdriet ons omringen, een morele troost.” Typisch, Noether bleef gericht op wiskunde, het verzamelen van de studenten in haar appartement te bespreken klasse veld theorie. Toen een van haar leerlingen verscheen in het uniform van de Nazi paramilitaire organisatie Sturmabteilung (SA), ze liet geen teken van agitatie en, naar verluidt, nog later lachte over.

Bryn Mawr

Bryn Mawr College voorzien van een gastvrij thuis voor Noether tijdens de laatste twee jaar van haar leven.

Tientallen nieuwe werklozen professoren begon te zoeken naar posities buiten Duitsland, hun collega’s in de Verenigde Staten wilden bijstand en kansen op werk voor hen. Albert Einstein en Hermann Weyl werden benoemd door het Institute for Advanced Study in Princeton, terwijl anderen gewerkt om het vinden van een sponsor nodig voor legale immigratie. Noether werd gecontacteerd door vertegenwoordigers van twee onderwijsinstellingen, Bryn Mawr College in de Verenigde Staten en Somerville College aan de Universiteit van Oxford in Engeland. Na een reeks van onderhandelingen met de Rockefeller Foundation , werd een subsidie aan Bryn Mawr goedgekeurd voor Noether en ze nam een positie daar, vanaf eind 1933.

Bryn Mawr, Noether ontmoet en bevriend Anna Wheeler, die had gestudeerd in Göttingen net voor Noether aangekomen daar. Een andere bron van steun aan het college was het Bryn Mawr president, Marion Edwards Park, die enthousiast uitgenodigd wiskundigen in het gebied om te zien “Dr. Noether in actie!” Noether en een klein team van studenten werkten snel door van der Waerden’s 1930 boek Moderne Algebra I en delen van Erich Hecke ’s Theorie der algebraischen Zahlen (theorie van de algebraïsche getallen, 1908).

In 1934, Noether begon lezingen aan het Institute for Advanced Study in Princeton op uitnodiging van Abraham Flexner en Oswald Veblen. Ze werkte ook samen met en onder toezicht Abraham Albert en Harry Vandiver. Echter, merkte ze over Princeton University dat ze welkom op de “mannen universiteit, waar niets vrouwtje is toegelaten” was het niet.

Haar tijd in de Verenigde Staten was aangenaam, omringd als ze was door ondersteunende collega’s en verdiept in haar favoriete onderwerpen. In de zomer van 1934 dat ze even terug naar Duitsland om Emil Artin en haar broer Fritz voordat hij vertrok zien voor Tomsk. Hoewel veel van haar vroegere collega’s waren gedwongen uit van de universiteiten, was ze in staat om de bibliotheek te gebruiken als een “buitenlandse geleerde”.

Dood

Overblijfselen Noether’s werden onder het wandelpad rondom de kloosters van Bryn Mawr’s geplaatst M. Carey Thomas Bibliotheek.

In april 1935 ontdekten artsen een tumor in Noether’s bekke . Bezorgd over de complicaties van een operatie, bestelde ze twee dagen bedrust eerste. Tijdens de operatie ontdekten ze een ovariale cyste de grootte van een grote meloen. Twee kleinere tumoren in haar baarmoeder bleek goedaardig en werden niet verwijderd te vermijden verlenging chirurgie. Voor drie dagen verscheen ze normaal revalideren, en ze herstelde zich snel van een collaps van de bloedsomloop op de vierde. Op 14 april viel ze bewusteloos, haar temperatuur gestegen tot 109 ° F (42,8 ° C), en ze stierf is niet gemakkelijk om te zeggen wat er gebeurd was in Dr. Noether, een van de artsen schreven. ‘Het is mogelijk dat er enige vorm van ongewone en virulente infectie, die de basis van de hersenen waar de warmte centra geacht worden zich geslagen.”

Een paar dagen na de dood van Noether van haar vrienden en medewerkers bij Bryn Mawr hield een kleine herdenking bij het huis van College President Park. Hermann Weyl en Richard Brauer reisde van Princeton en sprak met Wheeler en Taussky over hun overleden collega. In de maanden die volgden, geschreven hommages begon te verschijnen over de hele wereld: Albert Einstein trad van der Waerden, Weyl en Pavel Alexandrov in het betalen van hun respect. Haar lichaam werd gecremeerd en de as begraven onder het wandelpad rond de kloosters van de M. Carey Thomas Bibliotheek bij Bryn Mawr.

Bijdragen aan de wiskunde en natuurkunde

Eerst en vooral Noether wordt herinnerd door wiskundigen als een algebraist en voor haar werk in de topologie. Natuurkundigen waardeer haar beste voor haar beroemde stelling vanwege de verstrekkende gevolgen voor de theoretische natuurkunde en dynamische systemen. Ze toonde een acute neiging tot abstract denken, die het haar mogelijk maakte om de problemen van de wiskunde in frisse en originele manieren benaderen. Haar vriend en collega Hermann Weyl beschreef haar wetenschappelijke output in drie tijdperken:

Wetenschappelijke productie Emmy Noether’s viel in drie duidelijk verschillende tijdperken:

(1) de periode van relatieve afhankelijkheid, 1907-1919,
(2) het onderzoek gegroepeerd rond de algemene theorie van idealen 1920-1926;

(3) de studie van de niet-commutatieve algebra’s, hun vertegenwoordigingen door lineaire transformaties, en hun toepassing op de studie van commutatieve aantal velden en hun rekenkunde.

– Weyl 1935

In de eerste periode (1907-1919), Noether behandelde voornamelijk differentiële en algebraïsche invarianten, te beginnen met haar proefschrift onder Paul Gordan. Haar wiskundige horizon verbreed, en haar werk werd meer algemeen en abstract, terwijl ze kennis met het werk van David Hilbert, door nauwe interactie met een opvolger van Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Na de verhuizing naar Göttingen in 1915, produceerde ze haar baanbrekende werk voor de fysica, de twee Noether’s stellingen.

In de tweede periode (1920-1926), Noether wijdde zich aan het ontwikkelen van de theorie van de wiskundige ringen.

In de derde periode (1927-1935), Noether gericht op niet-commutatieve algebra, lineaire transformaties, en commutatieve aantal velden.

Historische context

In de eeuw van 1832 tot de dood Noether’s in 1935, op het gebied van wiskunde-specifiek algebra -underwent een diepgaande revolutie, waarvan de echo nog steeds voelbaar. Wiskundigen vorige eeuwen praktische methoden gewerkt oplossen van specifieke typen vergelijkingen, bijvoorbeeld, kubiek, quartic en Vijfdegraadsvergelijking vergelijkingen, en over het gerelateerd probleem construeren regelmatige veelhoeken met kompas en liniaal. Te beginnen met Carl Friedrich Gauss 1832 het bewijs dat priemgetallen zoals vijf kan worden meegewogen in Gaussian gehele getallen, Évariste Galois ’s introductie van permutatiegroepen in 1832 (hoewel, als gevolg van zijn dood, werden zijn papieren alleen gepubliceerd in 1846 door Liouville), William Rowan Hamilton ‘ontdekking s van quaternions in 1843, en Arthur Cayley ’s meer moderne definitie van groepen in 1854, het onderzoek zich tot het bepalen van de eigenschappen van steeds meer abstracte systemen gedefinieerd door steeds meer universele regels. Belangrijkste bijdragen Noether aan wiskunde waren om de ontwikkeling van dit nieuwe terrein, abstracte algebra.

Abstracte algebra en begriffliche Mathe (conceptuele wiskunde)

Twee van de meest elementaire objecten in abstracte algebra zijn groepen en ringen.

Een groep bestaat uit een reeks elementen en één operatie die combineert een eerste en een tweede element en retourneert een derde. De werking moet voldoen aan bepaalde beperkingen voor het aan een groep te bepalen: Het moet worden gesloten (wanneer toegepast op elk paar elementen van de bijbehorende set, de gegenereerde element moet ook een lid van die set zijn), moet het zijn associatief, er moet zijn een identiteit element (een element dat, in combinatie met een ander element met de operatie resulteert in het oorspronkelijke element, zoals het toevoegen van nul tot een getal of vermenigvuldiging met één), en elk element moet er een zijn inverse element.

Een ring ook, heeft een set van elementen, maar heeft nu twee operaties. De eerste operatie moet de set een groep te maken, en de tweede operatie is associatieve en distributieve met betrekking tot de eerste operatie. Het kan dan niet commutatief; Dit betekent dat het resultaat van de toepassing van de operatie om een eerste en een tweede element gelijk is aan de tweede en eerste de volgorde van de elementen niet uit. Als elke niet-nul element heeft een Omgekeerde (een element x zodanig dat ax = x = 1), wordt de ring heet een divisie ring. Een veld wordt gedefinieerd als een commutatieve divisie ring.

Groepen worden vaak onderzocht door middel van groep representaties. In hun meest algemene vorm, deze bestaan uit een keuze van de groep, een set, en een actie van de groep op de set, dat is, een operatie die een element van de groep en een element van de set neemt en geeft een element van de set. Meestal, de set is een vectorruimte , en de groep vertegenwoordigt symmetrieën van de vectorruimte. Zo is er een groep die de starre rotaties van de ruimtevaart. Dit is een soort symmetrie ruimte, omdat de ruimte zelf niet verandert wanneer het wordt geroteerd terwijl de posities van objecten in het. Noether gebruikt dit soort symmetrieën in haar werk op invarianten in de natuurkunde.

Een krachtige manier van studeren ringen is door middel van hun modules. Een module bestaat uit een keuze van de ring, een andere set, meestal los van de onderliggende set van de ring en belde de onderliggende set van de module, een operatie aan paren van elementen van de onderliggende set van de module, en een operatie die een kost element van de ring een element van de module en geeft een element van de module. De onderliggende set van de module en de werking ervan moet een groep te vormen. Een module is een ring-theoretische versie van een groep vertegenwoordiging: Het negeren van de tweede ring operatie en de operatie op paren van module-elementen bepaalt een groep representatie. De werkelijke nut van modules is dat de soorten modules die bestaan en hun interacties, tonen de structuur van de ring op manieren die niet uit de ring zelf zijn. Een belangrijk speciaal geval hiervan is een algebra. (Het woord algebra: zowel een onderwerp binnen wiskunde en object onderzocht in het onderwerp algebra.) Een algebra bestaat uit een keuze van twee ringen en een bewerking die een element draait van elke ring en retourneert een element van de tweede ring. Deze operatie maakt de tweede ring in een module over de eerste. Vaak is de eerste ring is een veld.

Woorden zoals “element” en “combinering” zeer algemeen en kan worden toegepast op vele realistische en abstracte situaties. Elke set van dingen die alle regels gehoorzaamt voor een (of twee) handeling (en) is, per definitie, een groep (of ring), en gehoorzaamt alle stellingen over groepen (of ringen). Gehele getallen, en de activiteiten van optellen en vermenigvuldigen, zijn slechts een voorbeeld. Bijvoorbeeld, de elementen computer datawoorden, waarbij de eerste combinering is exclusief of de tweede logische verbinding. Stellingen van abstracte algebra zijn krachtig, omdat ze het algemeen; zij regeren veel systemen. Men zou kunnen denken dat weinig over objecten die zijn gedefinieerd met zo weinig eigenschappen kon worden gesloten, maar juist daarin lag Noether’s cadeau: om het maximale bedrag dat uit een gegeven set eigenschappen kon worden gesloten, of omgekeerd, om het minimumpakket te identificeren, de essentiële ontdekken eigenschappen verantwoordelijk voor een bepaalde waarneming. In tegenstelling tot de meeste wiskundigen, wist ze niet abstracties te maken door het veralgemenen van bekende voorbeelden; eerder, werkte ze direct met de abstracties. Zoals van der Waerden herinnerde in zijn doodsbrief van haar,

De stelregel waarmee Emmy Noether haar hele werk werd geleid zou kunnen als volgt worden geformuleerd: “Elke relaties tussen getallen, functies en activiteiten transparant en algemeen toepasbaar zijn, en volledig productief pas nadat ze zijn geïsoleerd van hun specifieke objecten en geformuleerd als universeel geldige concepten. “

Dit is de begriffliche Mathe (puur conceptuele wiskunde) die kenmerkend zijn voor Noether was. Deze stijl van de wiskunde werd bijgevolg door andere wiskundigen aangenomen, vooral in de (toen nieuwe) gebied van de abstracte algebra.

Integers als een voorbeeld van een ring

De gehele getallen vormen een commutatieve ring waarvan de elementen de gehele getallen, en de combinatie van operaties zijn optellen en vermenigvuldigen. Elk paar getallen kunnen worden toegevoegd of vermenigvuldigd, altijd resulteert in een integer, en de eerste operatie, bovendien is commutatief, dwz voor elementen a en b in de ring, a + b = b + a . De tweede operatie, vermenigvuldiging, ook commutatief, maar dat hoeft niet het geval voor andere ringen, waardoor een combinatie met b anders misschien b gecombineerd met een. Voorbeelden van niet-commutatieve ringen omvatten matrices en quaternionen. De getallen vormen geen delingsring, omdat de tweede bewerking kan niet altijd worden omgekeerd; geen integer een zodanig dat 3 x a = 1.

De getallen hebben extra eigenschappen die niet te generaliseren naar alle commutatieve ringen. Een belangrijk voorbeeld is de fundamentele stelling van de rekenkunde, die zegt dat elk positief geheel getal op unieke wijze kan worden verwerkt in priemgetallen. Unieke factorisaties niet altijd bestaan in andere ringen, maar Noether vond een unieke factorisatie stelling, nu genaamd de Lasker-Noether stelling, voor de idealen van veel ringen. Veel van Noether’s werk lag in het bepalen welke eigenschappen hebben te houden voor alle ringen, bij het uitwerken van nieuwe analogen van de oude integer stellingen, en bij het bepalen van de minimale set van aannames die nodig is om bepaalde eigenschappen van ringen opleveren.

Eerste periode (1908-1919)

Algebraïsche invariantentheorie

Tabel 2 van Noether proefschrift op invariantentheorie. Deze tabel verzamelt 202 van de 331 invarianten van ternair bikwadraats vormen. Deze formulieren worden ingedeeld in twee variabelen x en u. De horizontale richting van de tabel staan de invarianten met toenemende kwaliteiten in x, terwijl de verticale richting geeft deze met toenemende kwaliteiten in u.

Een groot deel van het werk Noether’s in de eerste periode van haar carrière werd geassocieerd met invariantentheorie, voornamelijk algebraïsche invariantentheorie. Invariantentheorie zich bezig met uitdrukkingen die constant (invariante) onder een blijven groep van transformaties. Als een alledaags bijvoorbeeld een stijve maatstaf wordt geroteerd, de coördinaten ( x 1 , y 1 , z 1 ) en ( x 2 , y 2 , z 2 ) zijn eindpunten te veranderen, maar de lengte L van de formule L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 blijft hetzelfde. Invariantentheorie was een actief gebied van onderzoek in de latere negentiende eeuw, mede ingegeven door Felix Klein ’s Erlangen-programma, volgens welke verschillende typen geometrie moet worden gekenmerkt door hun invarianten onder transformaties, bijvoorbeeld, de cross-verhouding van projectieve meetkunde . De archetypische voorbeeld van een invariant is de discriminant B 2 – 4 AC van een binaire kwadratische vorm Ax 2 + Bxy + Cy 2. Dit heet een invariant want het is ongewijzigd door lineaire vervangingen xax + door, ycx + dy met determinant adbc = 1. Deze substituties vormen de speciale lineaire groep SL 2. (Er zijn geen invarianten onder de algemene lineaire groep van alle inverteerbare lineaire transformaties, want deze veranderingen kunnen worden vermenigvuldiging met een schaalfactor. Om dit klassieke invariantentheorie ook beschouwd verhelpen relatieve invarianten, die waren formulieren invariant tot een schaal factor.) Eén kan vragen voor alle veeltermen in A, B, en C, dat ongewijzigd door de actie van zijn SL 2; deze worden genoemd de invarianten van binaire kwadratische vormen, en blijken de veeltermen in de discriminant zijn. Meer in het algemeen kan men vragen naar de invarianten van homogene veeltermen A 0 x r y 0 + … + A r x 0 y r van hogere graad, die zal worden bepaalde veeltermen in de coëfficiënten A 0 , …, A r, en meer in het algemeen nog steeds, kan men de soortgelijke vraag voor homogene veeltermen vragen in meer dan twee variabelen.

Een van de belangrijkste doelen van invariantentheorie was om de eindige basis probleem op te lossen. De som of het product van twee invarianten invariant en het eindige basis probleem vraagt of het mogelijk alle invarianten komen door te beginnen met een eindige lijst van invarianten, genaamd generatoren , en vervolgens toevoegen of generatoren elkaar vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld, de discriminant geeft een eindige basis (met één element) voor invarianten van binaire kwadratische vormen. Noether’s adviseur, Paul Gordan, stond bekend als de “koning van invariantentheorie”, en zijn belangrijkste bijdrage aan de wiskunde was zijn 1870 oplossing van het eindige basis probleem voor invarianten van homogene veeltermen in twee variabelen. Hij bewees dit door het geven van een constructieve werkwijze voor het vinden van alle invarianten en hun generatoren, maar niet kunnen uitvoeren deze constructieve benadering invarianten in drie of meer variabelen. In 1890, David Hilbert bleek een soortgelijke verklaring voor de invarianten van homogene polynomen in een aantal variabelen. Bovendien zijn methode werkt, niet alleen voor de speciale lineaire groep, maar ook sommige subgroepen zoals de speciale orthogonale groep. Zijn eerste bewijs voor wat controverse gezorgd, omdat het niet in een werkwijze voor het construeren van de generatoren gaf, hoewel hij in het latere werk van gemaakt zijn methode constructief. Voor haar proefschrift, Noether verlengd computationele bewijs Gordan homogene veeltermen in drie variabelen. Constructief Noether maakte het mogelijk de relaties tussen de invarianten bestuderen. Later, nadat ze had zich tot meer abstracte methodes, Noether noemde haar proefschrift Mist (onzin) en Formelngestrüpp (een jungle van vergelijkingen).

Galois theorie

Galois theorie betreft transformaties van het aantal velden dat permuteren de wortels van een vergelijking. Beschouw een veeltermvergelijking van een variabele x van graad n, waarbij de coëfficiënten worden getrokken van enkele grond veld, die kunnen zijn, bijvoorbeeld het gebied van reële getallen, rationale getallen, of de gehele getallen modulo 7. Er kunnen dan niet keuze van x, waarvan de polynoom te evalueren nul. Dergelijke keuzes, als ze bestaan, worden genoemd wortels . Als het polynoom x 2 + 1 en het veld de reële getallen, dan is de polynoom geen wortels, omdat een keuze van x maakt het polynoom groter dan of gelijk aan één. Als het veld wordt verlengd , echter dan de polynoom wortels kan bereiken, en indien het genoeg is verlengd, dan altijd een aantal wortels gelijk aan zijn niveau. Voortzetting van het vorige voorbeeld, wanneer het veld wordt vergroot om de complexe getallen, dan de polynoom winst twee wortels, i en – i, waarbij i de imaginaire eenheid , dat wil zeggen i 2 = -1. Meer algemeen wordt de verlenging veld waarin een polynoom kan worden verwerkt in de wortels zogenaamde splitsing gebied van de polynoom.

De Galois groep van een polynoom is de verzameling van alle manieren van het transformeren van het veld splitsen, met behoud van de grond veld en de wortels van de polynoom. (In wiskundige jargon, deze transformaties heten automorfismen) De Galois groep x 2 + 1 bestaat uit twee elementen: De identiteit transformatie, die elk complex getal stuurt naar zichzelf, en complexe conjugatie, die stuurt ik aan – i. Sinds de Galois groep de grond niet wijzigt, wordt verlaat de coëfficiënten van de polynoom ongewijzigd, zodat het de verzameling van alle wortels ongewijzigd moet verlaten. Elke wortel kan verplaatsen naar een andere wortel, echter, dus transformatie bepaalt een permutatie van de n wortels onderling. De betekenis van de Galoisgroep afgeleid van de fundamentele stelling van Galois theorie, wat bewijst dat het veld dat tussen de grond veld en het veld splitsen in één-op-één correspondentie met de subgroepen van de Galoisgroep.

In 1918 publiceerde Noether een rudimentaire papier op de inverse Galois probleem. In plaats van het bepalen van de Galois groep van transformaties van een bepaald gebied en de uitbreiding, Noether gevraagd of, gezien een veld en een groep, is het altijd mogelijk om te zoeken uitbreiding van het veld dat de betreffende groep als Galoisgroep heeft. Ze gereduceerd dit ” Noether’s probleem “, die vraagt of het vaste gebied van een subgroep G van de Permutatiegroep S n die op het veld k ( x 1 , …, x n ) is altijd een zuivere transcendente uitbreiding van het veld k. (Ze voor het eerst vermeld dit probleem op een 1913 papier, waar ze toegeschreven het probleem aan haar collega Fischer .) Ze liet dit geldt voor was n = 2 , 3 of 4. In 1969 RG Swan vond een tegenvoorbeeld om Noether’s probleem, met n = 47 en G een cyclische groep van orde 47 (hoewel deze groep kan worden gerealiseerd als een Galoisgroep over de rationale getallen op andere manieren). De inverse Galois probleem onopgelost blijft.

Natuurkunde

Hoofd artikelen: Noether, Conservation wet (natuurkunde) en Bewegingsconstante

Noether werd gebracht Göttingen in 1915 door David Hilbert en Felix Klein, die haar expertise in invariantentheorie wilde om hen te helpen bij het begrijpen van de algemene relativiteitstheorie, een geometrische theorie van de zwaartekracht vooral ontwikkeld door Albert Einstein. Hilbert had opgemerkt dat het behoud van energie leek te worden geschonden algemene relativiteit, vanwege het feit dat gravitationele energie kan zelf aangetrokken. Noether mits de oplossing van deze paradox, en een fundamenteel instrument van de moderne theoretische natuurkunde , met de eerste stelling Noether’s , die ze bleek in 1915, maar niet publiceren tot 1918. Ze loste niet alleen het probleem van de algemene relativiteitstheorie, maar ook bepaald de geconserveerde hoeveelheden voor elk systeem van fysieke wetten die sommige continue symmetrie bezit.

Bij het ontvangen van haar werk, Einstein schreef aan Hilbert:. “Gisteren kreeg ik van Miss Noether een zeer interessant document over invarianten Ik ben onder de indruk dat zulke dingen kunnen worden begrepen in een dergelijke algemene wijze de oude garde in Göttingen moet een aantal lessen uit te nemen. Miss Noether! Ze lijkt haar spullen te leren kennen.”

Ter illustratie, als een fysisch systeem gedraagt zich hetzelfde, ongeacht hoe het is georiënteerd in de ruimte, de natuurkundige wetten die het regeren zijn draaisymmetrische; van deze symmetrie, Noether toont het impulsmoment van het systeem moet worden behouden. Het fysieke systeem zelf hoeft niet symmetrisch te zijn; een grillige asteroïde tumbling in de ruimte bespaart impulsmoment ondanks zijn asymmetrie. Integendeel, de symmetrie van de fysische wetten inzake het systeem is verantwoordelijk voor het behoud wet. Als een ander voorbeeld, een fysiek experiment dezelfde uitkomst op elke plaats en op elk moment, dan zijn wetten symmetrisch onder continue vertalingen in ruimte en tijd; door Noether, deze symmetrieën zijn goed voor de behoudswetten van impuls en energie binnen dit systeem, respectievelijk.

Noether is uitgegroeid tot een fundamenteel instrument van de moderne theoretische natuurkunde , zowel vanwege het inzicht geeft in de behoudswetten, en ook, als een praktische rekentool. Haar stelling stelt onderzoekers in staat om de behouden grootheden bepalen van de waargenomen symmetrieën van een fysieke systeem. Omgekeerd maakt de beschrijving van een fysiek systeem op basis van klassen van hypothetische fysische wetten. Ter illustratie, stel dat een nieuw fysisch verschijnsel is ontdekt. Noether biedt een test voor de theoretische modellen van het fenomeen: als de theorie heeft een continue symmetrie, dan Noether garandeert dat de theorie heeft een behouden grootheid, en voor de theorie juist is, moet dit behoud waarneembaar in experimenten.

Tweede periode (1920-1926)

Hoewel de resultaten van het eerste tijdvak Noether’s waren indrukwekkend en nuttig, haar faam als wiskundige berust meer op het baanbrekende werk dat zij deed in haar tweede en derde tijdperken, zoals opgemerkt door Hermann Weyl en BL van der Waerden in hun doodsbrieven van haar.

In deze tijdperken, werd ze niet alleen het toepassen van ideeën en methoden van eerdere wiskundigen; eerder werd ze bewerken nieuwe stelsels van wiskundige definities die worden gebruikt door toekomstige wiskundigen. In het bijzonder, ontwikkelde zij een geheel nieuwe theorie van idealen in ringen, generaliseren eerder werk van Richard Dedekind. Ze is ook bekend voor het ontwikkelen van oplopende keten omstandigheden, een eenvoudige eindigheid voorwaarde dat krachtige resultaten in haar handen opgeleverd. Dergelijke voorwaarden en de theorie van idealen ingeschakeld Noether aan vele oudere resultaten generaliseren en voor oude problemen vanuit een nieuw perspectief te behandelen, zoals eliminatie theorie en de algebraïsche variëteiten die waren onderzocht door haar vader.

Stijgende en dalende keten condities

In dit tijdperk, Noether werd beroemd om haar behendige gebruik van oplopende (Teilerkettensatz) of aflopend Vielfachenkettensatz) keten voorwaarden. Een reeks niet-lege deelverzamelingen A 1 , A 2 , A 3 , etc. van een set S wordt gewoonlijk gezegd dat stijgend , wanneer elk is een deelverzameling van de volgende

A_ {1}  deelverzameling A_ {2}  deelverzameling A_ {3}  deelverzameling  cdots.

Omgekeerd, een opeenvolging van deelverzamelingen van S heet aflopend indien elk bevat de volgende subgroep:

A_ {1}  supset A_ {2}  supset A_ {3}  supset  cdots.

Een keten wordt constant na een eindig aantal stappen als er een n zodanig dat A_n = A_mvoor alle mn . Een verzameling van deelverzamelingen van een bepaalde set voldoet aan de Ketenvoorwaarde eventuele oplopende volgorde wordt constant na een eindig aantal stappen. Het voldoet neergaande Staat kettingen eventueel aflopende volgorde wordt constant na een eindig aantal stappen.

Stijgend en dalend keten condities algemeen betekent dat ze kunnen worden toegepast op vele soorten wiskundige objecten-en, op het oppervlak, kunnen ze niet erg krachtig. Noether liet zien hoe dergelijke voorwaarden te exploiteren, echter, om maximaal te profiteren: bijvoorbeeld hoe ze te gebruiken om aan te tonen dat elke set van sub-objecten heeft een maximale / minimale element of dat een complex object kan worden gegenereerd door een kleiner aantal elementen . Deze conclusies zijn vaak cruciale stappen in een proof.

Veel soorten objecten in abstracte algebra kan voldoen keten voorwaarden, en meestal als ze voldoen aan een Ketenvoorwaarde, ze heten Noetherse in haar eer. Per definitie is een Noetherse ring voldoet aan een Ketenvoorwaarde op zijn links en rechts idealen, terwijl een Noetherse groep wordt gedefinieerd als een groep waarin elke strikt stijgende keten van subgroepen is eindig. Een Noetherse module is een module waarin elke streng stijgend keten submodules constant na een eindig aantal stappen. Een Noetherse ruimte is een topologische ruimte waarin elke streng stijgend keten open deelruimten constant na een eindig aantal stappen; Deze definitie maakt het spectrum van een Noetherse ring een Noetherse topologische ruimte.

De conditie van de ketting vaak wordt “geërfd” door sub-objecten. Bijvoorbeeld alle deelruimten van een Noetherse ruimte, zijn Noetherse zelf; alle subgroepen en quotiënt groepen van een Noetherse groep zijn eveneens, Noetherse; en, mutatis mutandis , hetzelfde geldt voor submodules en quotiënt modules van een Noetherse module. Alle quotientringen van een Noetherse ring zijn Noetherse, maar dat betekent niet per se te houden voor haar deelringen. De conditie van de ketting kan ook worden overgenomen door combinaties of uitbreidingen van een Noetherse object. Bijvoorbeeld, eindige directe sommen Noetherse ringen zijn Noetherse, net als de ring van de formele macht serie over een Noetherse ring.

Een andere toepassing van een dergelijke keten voorwaarden is in Noetherse inductie -ook bekend als gegrond inductie -die is een generalisatie van wiskundige inductie. Het vaak wordt gebruikt om algemene uitspraken te doen over verzamelingen van objecten om uitspraken te doen over specifieke objecten in die collectie te verminderen. Stel dat S is een gedeeltelijk geordende set. Een manier blijkt een uitspraak over de objecten van S is het bestaan van een nemen counterexample en afleiden tegenspraak daarmee het bewijs contrapositive van de oorspronkelijke instructie. Het uitgangspunt van de noetherse inductie is dat elke niet-lege deelverzameling van S bevat een minimaal element. Vooral de verzameling van alle tegenvoorbeelden bevat een minimale element, de minimale tegenvoorbeeld. Om het oorspronkelijke bewijs hiervan derhalve volstaat om iets schijnbaar zwakkere tonen: Voor counterexample, een geringere tegenvoorbeeld.

Commutatieve ringen, idealen, en modules

Noether’s papier, Idealtheorie in Ringbereichen ( Theory of Idealen in Ring Domeinen, 1929) is de basis van algemene commutatieve ring theorie, en geeft een van de eerste algemene definities van een commutatieve ring. Voor haar papier, de meeste resultaten in commutatieve algebra werden beperkt tot bijzondere voorbeelden van commutatieve ringen, zoals veeltermringen over velden of ringen van algebraïsche getallen. Noether bewezen dat in een ring waarin de Ketenvoorwaarde op voldoet idealen, elk ideaal is eindig gegenereerd. In 1943, Franse wiskundige Claude Chevalley bedacht de term, Noetherse ring , om deze woning te beschrijven. Een belangrijk resultaat in Noether’s 1921 paper is de Lasker-Noether stelling , dat Lasker theorema strekt zich uit over de primaire afbraak van de idealen van veeltermringen aan alle Noetherse ringen. De Lasker-Noether theorema kan worden gezien als een generalisatie van het fundamentele theorema van rekenkundige hetwelk elk positief geheel getal kan worden uitgedrukt als een product van priemgetallen en dat deze afbraak is uniek.

Noether’s werk Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Abstracte Structuur van de Theorie van Idealen in aantal algebraïsche en Functie Velden , 1927) gekenmerkt de ringen waarin de idealen hebben unieke factorisatie in prime idealen als de Dedekind domeinen : integrale domeinen die Noetherse zijn, 0 of 1- dimensionale, en integraal gesloten in hun quotiënt velden. Dit document bevat ook wat nu de zogenaamde isomorfismestellingen , waarin een aantal fundamentele beschrijven natuurlijke isomorfismen, en enkele andere elementaire resultaten op Noetherse en Artinian modules.

Eliminatie theorie

In 1923-1924, Noether toegepast haar ideale theorie tot eliminatie theorie -in een formulering die ze aan haar toegeschreven student, Kurt Hentzelt-waaruit blijkt dat fundamentele stellingen over de factorisatie van veeltermen direct konden worden overgedragen. Traditioneel eliminatie theorie betreft het elimineren van één of meer variabelen van een stelsel van polynomiale vergelijkingen, gewoonlijk door de werkwijze resultanten . Ter illustratie, een stelsel van vergelijkingen vaak kan worden geschreven in de vorm van een matrix M (het missen van de variabele x ) maal een vector v (met slechts verschillende machten van x ) gelijk aan de nul vector, M • v = 0 . Vandaar de determinant van de matrix M moet nul zijn, die een nieuwe vergelijking waarin de variabele x is geëlimineerd.

Invariantentheorie van eindige groepen

Technieken zoals Hilbert oorspronkelijke niet-constructieve oplossing voor de eindige basis probleem kon niet worden gebruikt om kwantitatieve informatie over de invarianten van een groep actie te krijgen, en bovendien hebben ze niet voor alle groep acties. In haar 1915 papier, Noether een oplossing gevonden voor het eindige basis probleem voor een eindige groep transformaties G werkend op een eindig-dimensionale vectorruimte over een gebied van karakteristieke nul. Haar oplossing blijkt dat de ring van invarianten wordt gegenereerd door homogene invarianten waarvan graad kleiner dan of gelijk is aan de volgorde van de eindige groep; dit heet Noether’s gebonden . Haar papieren gaf twee bewijzen van Noether’s gebonden, die beide ook bij de karakteristiek van het gebied is relatief priem aan | G | !, de faculteit van de bestelling | G | van de groep G. Het aantal generatoren behoeven niet aan Noether is zeker wanneer de karakteristiek van het veld verdeelt de | G |, Noether maar was niet in staat te bepalen of dit gebonden was gelijk wanneer de karakteristiek van het veld verdeelt | G |! maar niet | G |. Voor vele jaren, het bepalen van de waarheid of onwaarheid van deze gebonden voor dit specifieke geval was een open probleem, genaamd “Noether’s gap”. Het werd uiteindelijk zelfstandig door Fleischmann opgelost in 2000 en Fogarty in 2001, die in beide gevallen werd dat de gebonden blijft trouw.

In haar 1926 papier, Noether verlengd Stelling van Hilbert bij vertegenwoordigingen van een eindige groep op elk gebied; de nieuwe zaak die niet voortvloeien uit Hilbert werk als het kenmerk van het veld verdeelt de volgorde van de groep. Resultaat Noether werd later uitgebreid door William Haboush om alle reductieve groepen door zijn bewijs van de Mumford gissingen. In deze paper Noether introduceerde ook de Noether normalisatie lemma , waaruit blijkt dat een eindig voortgebrachte domein A over een veld K heeft een set x 1 , …, x n van algebraically onafhankelijke elementen zodanig dat A is integraal voorbij k [ x 1 , …, x n ].

Bijdragen aan topologie

Een continue vervorming ( homotopie ) van een kopje koffie in een donut ( torus ) en weer terug.

Zoals opgemerkt door Pavel Alexandrov en Hermann Weyl in hun doodsbrieven, Noether’s bijdragen aan de topologie te illustreren haar vrijgevigheid met ideeën en hoe haar inzichten kon gehele gebied van wiskunde te transformeren. In de topologie, wiskundigen de studie van de eigenschappen van objecten die invariant blijven zelfs onder vervorming, eigenschappen zoals hun verbondenheid. Een gemeenschappelijke grap is dat een topoloog een donut niet kan onderscheiden van een koffiemok, omdat ze continu kan worden vervormd in elkaar.

Noether wordt gecrediteerd met het fundamentele ideeën die hebben geleid tot de ontwikkeling van de algebraïsche topologie uit de eerdere combinatorische topologie, specifiek, het idee van homologie groepen. Volgens de rekening van Alexandrov, Noether bijgewoond lezingen gegeven door Heinz Hopf en door hem in het zomers van 1926 en 1927, waarbij “zij voortdurend opmerkingen gemaakt die vaak diep en subtiel waren” en hij vervolgt dat,

Toen werd ze eerst kennis met een systematische constructie van combinatorische topologie, ze meteen opgemerkt dat het de moeite waard om direct de studie zou zijn groepen van algebraïsche complexen en cycli van een bepaalde veelvlak en de subgroep van de cyclus groep die bestaat uit cycli homoloog aan nul; in plaats van de gebruikelijke definitie van Bettigetallen, stelde zij onmiddellijk definiëren de Betti groep als de complementaire (quotiënt) groep van de groep van alle cycli door de subgroep cycli homoloog aan nul. Deze observatie lijkt nu vanzelfsprekend. Maar in die jaren (1925-1928) was dit een geheel nieuw gezichtspunt.

Suggestie Noether dat topologie algebraïsch worden bestudeerd werd onmiddellijk goedgekeurd door Hopf, Alexandrov, en anderen, en het werd vaak onderwerp van discussie tussen de wiskundigen van Göttingen. Noether opgemerkt dat haar idee van een Betti groep maakt de Euler -Poincaré formule eenvoudiger te begrijpen en eigen werk Hopf’s over dit onderwerp “draagt het stempel van deze opmerkingen van Emmy Noether”. Noether noemt haar eigen topologie ideeën alleen als een terzijde in een 1926 publicatie, waar ze noemt het als een toepassing van de groep theorie.

Dit algebraïsche benadering van topologie werd ook onafhankelijk ontwikkeld in Oostenrijk. In een 1926-1927 cursus gegeven in Wenen, Leopold Vietoris definieerde een homologie groep , die werd ontwikkeld door Walther Mayer, in een axiomatische definitie in 1928.

Helmut Hasse gewerkt met Noether en anderen om de theorie van de gevonden centraal simpele algebra.

 

Geef een reactie